Арифметична прогресія – числова послідовність. Формули прогресій

Хтось до слова «прогресія» ставиться насторожено, як дуже складний термін з розділів вищої математики. А тим часом найпростіша арифметична прогресія – робота лічильника таксі (де вони ще залишилися). І зрозуміти суть (а математиці немає нічого важливіше, ніж «зрозуміти суть») арифметичної послідовності негаразд складно, розібравши кілька елементарних понять.

Математична числова послідовність

Числовою послідовністю прийнято називати якийсь ряд чисел, кожне з яких має власний номер.

а 1 - перший член послідовності;

а 2 - другий член послідовності;

а 7 – сьомий член послідовності;

а n - n-ний член послідовності;

Проте чи будь-який довільний набір цифр і чисел цікавить нас. Нашу увагу зосередимо на числової послідовності, у якій значення n-ного члена пов'язане з його порядковим номером залежністю, яку можна чітко сформулювати математично. Іншими словами: чисельне значення n-ного номера є функцією від n.

a - значення члена числової послідовності;

n – його порядковий номер;

f(n) - функція, де порядковий номер числової послідовності n є аргументом.

Визначення

Арифметичною прогресією прийнято називати числову послідовність, у якій кожен наступний член більше (менше) попереднього одне й те число. Формула n-ного члена арифметичної послідовності виглядає так:

a n – значення поточного члена арифметичної прогресії;

a n+1 - формула наступного числа;

d - різниця (певне число).

Неважко визначити, якщо різниця позитивна (d>0), кожен наступний член аналізованого ряду буде більше попереднього і така арифметична прогресія буде зростаючою.

На поданому нижче графіку неважко простежити, чому числова послідовність отримала назву "зростаюча".

У випадках, коли різниця негативна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значення заданого члена

Іноді буває необхідно визначити значення будь-якого довільного члена an арифметичної прогресії. Можна це шляхом розрахунку послідовно значень всіх членів арифметичної прогресії, починаючи з першого до шуканого. Однак такий шлях не завжди прийнятний, якщо, наприклад, необхідно знайти значення п'ятитисячного чи восьмимільйонного члена. Традиційний розрахунок сильно затягнеться за часом. Однак конкретна арифметична прогресія може бути вивчена за допомогою певних формул. Існує і формула n-ного члена: значення будь-якого члена арифметичної прогресії можна визначити як сума першого члена прогресії з різницею прогресії, помноженої на номер шуканого члена, зменшений на одиницю.

Формула універсальна для зростаючої та спадної прогресії.

Приклад розрахунку значення заданого члена

Розв'яжемо наступне завдання на знаходження значення n-ного члена арифметичної прогресії.

Умова: є арифметична прогресія з параметрами:

Перший член послідовності дорівнює 3;

Різниця числового ряду дорівнює 1,2.

Завдання: потрібно знайти значення 214 члена

Рішення: для визначення значення заданого члена скористаємося формулою:

а(n) = а1 + d(n-1)

Підставивши у вираз дані з умови завдання маємо:

а(214) = а1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Відповідь: 214 член послідовності рівні 258,6.

Переваги такого способу розрахунку очевидні - все рішення займає трохи більше 2 рядків.

Сума заданої кількості членів

Дуже часто в заданому арифметичному ряду потрібно визначити суму значень його відрізка. Для цього також не потрібно обчислювати значення кожного члена і потім підсумовувати. Такий спосіб застосовується, якщо кількість членів, суму яких необхідно знайти, невелика. В інших випадках зручніше скористатися такою формулою.

Сума членів арифметичної прогресії від 1 до n дорівнює сумі першого та n-ного членів, помноженої на номер члена n та діленої надвоє. Якщо у формулі значення n-ного члена замінити на вираз із попереднього пункту статті, отримаємо:

Приклад розрахунку

Наприклад вирішимо задачу з наступними умовами:

Перший член послідовності дорівнює нулю;

Різниця дорівнює 0,5.

У завданні потрібно визначити суму членів ряду з 56 по 101.

Рішення. Скористаємося формулою визначення суми прогресії:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Спочатку визначимо суму значень 101 члена прогресії, підставивши у формулу дані їх умови нашого завдання:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Очевидно, для того, щоб дізнатися суму членів прогресії з 56-го по 101-й, необхідно від S 101 відібрати S 55 .

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Таким чином, сума арифметичної прогресії для даного прикладу:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1 782,5

Приклад практичного застосування арифметичної прогресії

Наприкінці статті повернемося наприклад арифметичної послідовності, наведеному у першому абзаці - таксометр (лічильник автомобіля таксі). Розглянемо такий приклад.

Посадка в таксі (до якої входить 3 км пробігу) коштує 50 рублів. Кожен наступний кілометр оплачується із розрахунку 22 руб./км. Відстань подорожі 30 км. Розрахувати вартість подорожі.

1. Відкинемо перші 3 км, ціна яких включена у вартість посадки.

30 – 3 = 27 км.

2. Подальший розрахунок - не що інше як аналіз арифметичного числового ряду.

Номер члена – число км пробігу (мінус перші три).

Значення члена – сума.

Перший член у цій задачі дорівнюватиме a 1 = 50 р.

Різниця прогресії d = 22 р.

цікавить нас число - значення (27 +1)-ого ​​члена арифметичної прогресії - показання лічильника наприкінці 27-го кілометра - 27,999 ... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

На формулах, що описують ті чи інші числові послідовності, побудовані розрахунки календарних даних на скільки завгодно тривалий період. В астрономії у геометричній залежності від відстані небесного тіла до світила знаходиться довжина орбіти. Крім того, різні числові ряди з успіхом застосовуються у статистиці та інших прикладних розділах математики.

Інший вид числової послідовності – геометрична

Геометрична прогресія характеризується більшими, порівняно з арифметичною, темпами зміни. Не випадково в політиці, соціології, медицині найчастіше, щоб показати велику швидкість поширення того чи іншого явища, наприклад захворювання при епідемії, кажуть, що процес розвивається у геометричній прогресії.

N-ний член геометричного числового ряду відрізняється від попереднього тим, що він множиться на якесь постійне число - знаменник, наприклад перший член дорівнює 1, знаменник відповідно дорівнює 2, тоді:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – значення поточного члена геометричної прогресії;

b n+1 - формула наступного члена геометричної прогресії;

q – знаменник геометричної прогресії (постійне число).

Якщо графік арифметичної прогресії є прямою, то геометрична малює дещо іншу картину:

Як і у випадку арифметичної, геометрична прогресія має формулу значення довільного члена. Якийсь n-ний член геометричної прогресії дорівнює добутку першого члена на знаменник прогресії в ступені n зменшеного на одиницю:

приклад. Маємо геометричну прогресію з першим членом рівним 3 і знаменником прогресії, рівним 1,5. Знайдемо 5-й член прогресії

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сума заданого числа членів розраховується за допомогою спеціальної формули. Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює різниці добутку n-ного члена прогресії на його знаменник і першого члена прогресії, поділеної на зменшений на одиницю знаменник:

Якщо b n замінити користуючись розглянутою вище формулою, значення суми n перших членів розглянутого числового ряду набуде вигляду:

приклад. Геометрична прогресія починається з першого члена, що дорівнює 1. Знаменник заданий рівним 3. Знайдемо суму перших восьми членів.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Поняття числової послідовності

Визначення 2

Відображення натурального ряду чисел на безліч дійсних чисел називатиметься числовою послідовністю: $f:N→R$

Числова послідовність позначається так:

$(p_k )=(p_1,p_2,…,p_k,…)$

де $p_1,p_2,…,p_k,…$ - дійсні числа.

Існують три різних способи для завдання числових послідовностей. Опишемо їх.

аналітичний.

У цьому способі послідовність задається у вигляді формули, за допомогою якої можна знайти будь-який член цієї послідовності, підставляючи замість змінної натуральні числа.

Рекурентний.

Даний спосіб завдання послідовності полягає в наступному: Дається перший (або кілька перших) член цієї послідовності, а потім формула, яка пов'язує будь-який член її з попереднім членом або попередніми членами.

Словесний.

При цьому способі числова послідовність легко описується без введення будь-яких формул.

Двома окремими випадками числових послідовностей є арифметична та геометрична прогресії.

Арифметична прогресія

Визначення 3

Арифметичною прогресієюназивається послідовність, яка словесно описується так: Задано перше число. Кожне наступне визначається як сума попереднього з наперед заданим конкретним числом $d$.

У цьому визначенні дане наперед задане число називатимемо різницею арифметичної прогресії.

$p_1,p_(k+1)=p_k+d.$

Зауваження 1

Зазначимо, що окремим випадком арифметичної прогресії є постійна прогресія, за якої різниця прогресії дорівнює нулю.

Для позначення арифметичної прогресії на її початку зображується наступний символ:

$p_k=p_1+(k-1)d$

$S_k=\frac((p_1+p_k)k)(2)$ або $S_k=\frac((2p_1+(k-1)d)k)(2) $

Арифметична прогресія має так звану характеристичну властивість, яка визначається формулою:

$p_k=\frac(p_(k-1)+p_(k+1))(2)$

Геометрична прогресія

Визначення 4

Геометричною прогресієюназивається послідовність, яка словесно описується наступним чином: Задано перше число, що не дорівнює нулю. Кожне наступне визначається як добуток попереднього з наперед заданим конкретним не рівним нулю числом $q$.

У цьому визначенні дане наперед задане число називатимемо знаменником геометричної прогресії.

Очевидно, що рекурентно цю послідовність записуємо наступним чином:

$p_1≠0,p_(k+1)=p_k q,q≠0$.

Зауваження 2

Зазначимо, що окремим випадком геометричної прогресії є стала прогресія, коли він знаменник прогресії дорівнює одиниці.

Для позначення арифметичної прогресії на початку зображується наступний символ:

З рекурентного співвідношення для даної послідовності легко виводиться формула для знаходження будь-якого члена через перший:

$p_k=p_1 q^((k-1))$

Сума $k$ перших членів можна знайти за формулою

$S_k=\frac(p_k q-p_1)(q-1)$ або $S_k=\frac(p_1 (q^k-1))(q-1)$

Вона є геометричною.

Очевидно, що знаменник цієї геометричної прогресії дорівнює

$q=\frac(9)(3)=3$

Тоді за другою формулою суми арифметичної прогресії отримаємо:

$S_5=\frac(3\cdot (3^5-1))(3-1)=363$

ЧИСЛОВІ НАСЛІДКИ

АРИФМЕТИЧНІ ТА ГЕОМЕТРИЧНІ ПРОГРЕСІЇ

Якщо кожному натуральному числу nпоставлено у відповідність число хn, то кажуть, що задана числова послідовність х 1, х 2, …, хn, ….

Позначення числової послідовності {х n } .

При цьому числа х 1, х 2, …, хn, … називаються членами послідовності .

Основні способи завдання числових послідовностей

1. Одним із найбільш зручних способів є завдання послідовності формулою її спільного члена : хn = f(n), n Î N.

Наприклад, хn = n 2 + 2n+ 3 Þ х 1 = 6, х 2 = 11, х 3 = 18, х 4 = 27, …

2. Безпосереднім перерахуванням кінцевого числа перших членів.

Наприклад, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Рекурентним співвідношенням , Т. е. формулою, що виражає n-член через попередні один або кілька членів.

Наприклад, поряд Фібоначчіназивається послідовність чисел

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, яка визначається рекурентно:

х 1 = 1, х 2 = 1, хn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

Арифметичні операції над послідовностями

1. сумою (різницею) послідовностей ( аn) та ( bn cn } = { an ± bn}.

2. Творомпослідовностей ( аn) та ( bn) називається послідовність ( cn } = { an× bn}.

3. Приватнимпослідовностей ( аn) та ( bn }, bn¹ 0 називається послідовність ( cn } = { an×/ bn}.

Властивості числових послідовностей

1. Послідовність ( хn) називається обмеженою зверху М nсправедлива нерівність хn £ M.

2. Послідовність ( хn) називається обмеженою знизуякщо існує таке дійсне число mщо для всіх натуральних значень nсправедлива нерівність хn ³ m.

3. Послідовність ( хn) називається зростаючою nсправедлива нерівність хn < хn+1.

4. Послідовність ( хn) називається спадаючоюякщо для всіх натуральних значень nсправедлива нерівність хn > хn+1.

5. Послідовність ( хn) називається незростаючоюякщо для всіх натуральних значень nсправедлива нерівність хn ³ хn+1.

6. Послідовність ( хn) називається невпадаючоюякщо для всіх натуральних значень nсправедлива нерівність хn £ хn+1.

Послідовності зростаючі, спадні, незростаючі, незабутні називаються монотоннимипослідовностями, при цьому зростаючі та спадні – суворо монотонними.

Основні прийоми, які застосовуються при дослідженні послідовності на монотонність

1. Використання визначення.

а) Для досліджуваної послідовності ( хn) складається різниця

хn – хn+1, і далі з'ясовується, чи ця різниця зберігає постійний знак при будь-яких n Î N, і якщо так, то який саме. Залежно від цього робиться висновок про монотонність (немонотонність) послідовності.

б) Для знакопостійних послідовностей ( хn) можна скласти відношення хn+1/хnта порівняти його з одиницею.

Якщо це ставлення при всіх nбільше одиниці, то для строго позитивної послідовності робиться висновок про її зростання, а для строго негативної, відповідно, про спадання.

Якщо це ставлення при всіх nне менше одиниці, то для строго позитивної послідовності робиться висновок про її незменшення, а для строго негативної, відповідно, про незростання.

Якщо це відношення за деяких номерів nбільше одиниці, а за інших номерів nменше одиниці, це говорить про немонотонному характері послідовності.

2. Перехід до функції дійсного аргументу.

Нехай необхідно досліджувати на монотонність числову послідовність

аn = f(n), n Î N.

Введемо на розгляд функцію дійсного аргументу х:

f(х) = а(х), х³ 1,

та досліджуємо її на монотонність.

Якщо функція диференційована на проміжку, то знайдемо її похідну і досліджуємо знак.

Якщо похідна позитивна, то функція зростає.

Якщо похідна негативна, то функція зменшується.

Повертаючись до натуральних значень аргументу, ці результати поширюємо на вихідну послідовність.

Число аназивається межею послідовності хnякщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числа e знайдеться таке натуральне число N, що для всіх номерів n > Nвиконано нерівність | xn – a | < e.

Обчислення суми n перших членів послідовності

1. Подання загального члена послідовності у вигляді різниці двох або декількох виразів таким чином, щоб при підстановці більша частина проміжних доданків скоротилася, і сума суттєво спростилася.

2. Для перевірки та доказу вже наявних формул знаходження сум перших членів послідовностей може бути використаний метод математичної індукції.

3. Деякі завдання із послідовностями вдається звести до завдань на арифметичні чи геометричні прогресії.

Арифметичні та геометричні прогресії

Основні методи розв'язання задач на прогресії

1. Один із найпоширеніших методів вирішення задач на арифметичні прогресії у тому, що це задіяні за умови завдання члени прогресії виражаються через різницю прогресії d a dі а 1.

2. Широко поширений і вважається стандартним методом рішення задач на геометричні прогресії , коли всі члени геометричної прогресії, що фігурують за умови завдання, виражаються через знаменник прогресії. qі якийсь один його член, найчастіше перший b 1. Виходячи з умов завдання, складається та вирішується система з невідомими qі b 1.

Зразки розв'язання задач

Завдання 1 .

Задано послідовність хn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2+1). Знайти суму Snперших nчленів цієї послідовності.

Рішення. Перетворимо вираз для загального члена послідовності:

хn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

Sn = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Завдання 2 .

Задано послідовність аn = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

Звідси, A(3n + 5) +B(3n + 2) = 1,

(3A + 3B)n + (5A + 2B) = 1.

n.

n 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5 A + 2B = 1.

А = 1/3, У = –1/3.

Таким чином, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197". " width="39" height="41 src="> аn. Чи число 1980 є членом цієї послідовності? Якщо так, то визначити його номер.

Рішення. Випишемо перші nчленів цієї послідовності:

а 1 = 2, https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

Перемножимо ці рівності:

а 1а 2а 3а 4а 5…an-2an-1an = а 1а 2а 3а 4а 5…an-2an-1.

Звідси, an = n(n + 1).

Тоді, 1980 = n(n+ 1) n 2 + n- 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 Î N.

Відповідь:так, n = 44.

Завдання 4 .

Знайти суму S = а 1 + а 2 + а 3 + … + аnчисел а 1, а 2, а 3, …,аn, які за будь-якого натурального nзадовольняють рівності Sn = а 1 + 2а 2 + 3а 3 + … + nаn = .

Рішення. S 1 = a 1 = 2/3.

Для n > 1, nan = Sn – Sn-1 = - https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Звідси, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

А(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1) = 1

(A + B + C)n 2 + (3A + 2B + C)n + 2A = 1,

Прирівняємо коефіцієнти при відповідних ступенях n.

n 2 | A + B + C= 0,

n 1 | 3A + 2B+ C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Вирішуючи отриману систему, отримаємо А = 1/2, У= -1, C = 1/2.

Отже, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

де , , n > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = а 1 + а 2 + а 3 + … + аn = а 1 +=

=а 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Завдання 5 .

Знайти найбільший член послідовності .

Рішення. Покладемо bn = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Перш ніж ми почнемо вирішувати завдання на арифметичну прогресіюРозглянемо, що таке числова послідовність, оскільки арифметична прогресія - це окремий випадок числової послідовності.

Числова послідовність - це числова множина, кожен елемент якої має свій порядковий номер. Елементи цієї множини називаються членами послідовності. Порядковий номер елемента послідовності позначається індексом:

Перший елемент послідовності;

П'ятий елемент послідовності;

- "енний" елемент послідовності, тобто. елемент, "стоячий у черзі" під номером n.

Між значенням елемента послідовності та його порядковим номером існує залежність. Отже ми можемо розглядати послідовність як функцію, аргументом якої є порядковий номер елемента послідовності. Тобто можна сказати, що послідовність – це функція від натурального аргументу:

Послідовність можна задати трьома способами:

1 . Послідовність можна поставити за допомогою таблиці.У цьому випадку ми просто задаємо значення кожного члена послідовності.

Наприклад, Хтось вирішив зайнятися особистим тайм-менеджментом, і для початку порахувати протягом тижня, скільки часу він проводить у ВКонтакті. Записуючи час у таблицю, він отримає послідовність, що складається із семи елементів:

У першому рядку таблиці вказано номер дня тижня, у другому – час у хвилинах. Ми бачимо, що в понеділок хтось провів ВКонтакте 125 хвилин, тобто в четвер - 248 хвилин, а тобто в п'ятницю всього 15 хвилин.

2 . Послідовність можна поставити за допомогою формули n-го члена.

І тут залежність значення елемента послідовності з його номера виражається безпосередньо як формули.

Наприклад, якщо , то

Щоб знайти значення елемента послідовності із заданим номером, ми номер елемента підставляємо формулу n-го члена.

Те саме ми робимо, якщо потрібно знайти значення функції, якщо відомо значення аргументу. Ми значення аргументу підставляємо замість рівняння функції:

Якщо, наприклад, , то

Ще раз зауважу, що у послідовності, на відміну довільної числової функції, аргументом може лише натуральне число.

3 . Послідовність можна встановити за допомогою формули, що виражає залежність значення члена послідовності з номером n від значення попередніх членів. У цьому випадку нам недостатньо знати лише номер члена послідовності, щоб знайти його значення. Нам потрібно встановити перший член або кілька перших членів послідовності.

Наприклад, розглянемо послідовність ,

Ми можемо знаходити значення членів послідовності один за іншим, починаючи з третього:

Тобто щоразу, щоб знайти значення n-го члена послідовності, ми повертаємося до двох попередніх. Такий спосіб завдання послідовності називається рекурентнимвід латинського слова recurro- Повертатися.

Тепер ми можемо надати визначення арифметичної прогресії. Арифметична прогресія - це простий окремий випадок числової послідовності.

Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом.

Число називається різницею арифметичної прогресії. Різниця арифметичної прогресії може бути позитивною, негативною або рівною нулю.

Якщо title="d>0"">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} зростаючою.

Наприклад, 2; 5; 8; 11;...

Якщо , то кожен член арифметичної прогресії менший за попередній, і прогресія є спадаючою.

Наприклад, 2; -1; -4; -7;...

Якщо , то всі члени прогресії дорівнюють одному й тому ж числу, і прогресія є стаціонарний.

Наприклад, 2;2;2;2;...

Основна властивість арифметичної прогресії:

Подивимося на малюнок.

Ми бачимо, що

, у той же час

Склавши ці дві рівності, отримаємо:

.

Розділимо обидві частини рівності на 2:

Отже, кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх:

Більше того, оскільки

, у той же час

, то

, і, отже,

Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Формула го члена.

Ми бачимо, що для членів арифметичної прогресії виконуються співвідношення:

і наостанок,

Ми отримали формулу n-го члена.

ВАЖЛИВО!Будь-який член арифметичної прогресії можна виразити через і. Знаючи перший член і різницю арифметичної прогресії можна знайти її член.

Сума n членів арифметичної прогресії.

У довільній арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від крайніх рівні між собою:

Розглянемо арифметичну прогресію, у якій n членів. Нехай сума n членів цієї прогресії дорівнює.

Розташуємо члени прогресії спочатку в порядку зростання номерів, а потім в порядку зменшення:

Складемо попарно:

Сума у ​​кожній дужці дорівнює , число пар дорівнює n.

Отримуємо:

Отже, суму n членів арифметичної прогресії можна знайти за формулами:

Розглянемо вирішення завдань на арифметичну прогресію.

1 . Послідовність задана формулою n-го члена: . Доведіть, що ця послідовність є арифметичною прогресією.

Доведемо, що різниця між двома сусідніми членами послідовності дорівнює одному й тому ж числу.

Ми отримали, що різниця двох сусідніх членів послідовності не залежить від їхнього номера і є константою. Отже, за визначенням, ця послідовність є арифметичною прогресією.

2 . Дана арифметична прогресія -31; -27;

а) Знайдіть 31 член прогресії.

б) Визначте, чи входить до цієї прогресії число 41.

а)Ми бачимо, що ;

Запишемо формулу n-го члена нашої прогресії.

У загальному випадку

У нашому випадку тому